原理

图像金字塔是一种以多分辨率来解释图像的结构，通过对原始图像进行多尺度像素采样的方式，生成N个不同分辨率的图像。把具有最高级别分辨率的图像放在底部，以金字塔形状排列，往上是一系列像素（尺寸）逐渐降低的图像，一直到金字塔的顶部只包含一个像素点的图像，这就构成了传统意义上的图像金字塔。

生成图像金字塔主要包括两种方式——向下取样（缩小图像），向上取样（放大图像）。向下取样是分辨率越来越小；向上取样是增加像素。

1. 高斯金字塔

向下取样：Gi -> Gi+1

1. 对图像Gi进行高斯核卷积。
2. 删除所有的偶数行和列。

每次处理以后，结果图像是原来的四分之一（M/2 * N/2）。上述操作被称为Octave。

向上取样： Gi -> Gi-1

1.  将图像在每个方向扩大为原来的两倍，新增的行和列以0填充。
2. 使用先前同样的卷积核乘以四与放大后的图像卷积，获得 “新增像素”的近似值。

乘以四的卷积核例子：

上图的像素45如果正常卷积，会变成45/4，因为周围都是新增像素0。为了能使图像正确，必须在卷积核乘以4来还原颜色。

得到的图像即为放大后的图像，但是与原来的图像相比会发觉比较模糊，因为在缩放的过程中已经丢失了一些信息，如果想在缩小和放大整个过程中减少信息的丢失，这些数据形成了拉普拉斯金字塔。

1.1 SIFT中的高斯金字塔*

高斯金字塔式在Sift算子中提出来的概念，首先高斯金字塔并不是一个金字塔，而是有很多组（Octave）金字塔构成，并且每组金字塔都包含若干层（Interval）。

高斯金字塔的构建过程：

1. 先将原图像扩大一倍之后作为高斯金字塔的第1组第1层，将第1组第1层图像经高斯卷积（其实就是高斯平滑或称高斯滤波）之后作为第1组金字塔的第2层，高斯卷积函数为：

G(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma ^2}e^{-\frac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{2\sigma ^2}}

对于参数σ，在Sift算子中取的是固定值1.6。

2. 将σ乘以一个比例系数k,等到一个新的平滑因子σ=k*σ，用它来平滑第1组第2层图像，结果图像作为第3层。

3. 如此这般重复，最后得到L层图像，在同一组中，每一层图像的尺寸都是一样的，只是平滑系数不一样。它们对应的平滑系数分别为：

0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^{L-2}σ

4. 将第1组倒数第三层图像作比例因子为2的降采样，得到的图像作为第2组的第1层，然后对第2组的第1层图像做平滑因子为σ的高斯平滑，得到第2组的第2层，就像步骤2中一样，如此得到第2组的L层图像，同组内它们的尺寸是一样的，但是在尺寸方面第2组是第1组图像的一半。

这样反复执行，就可以得到一共O组，每组L层，共计O*L个图像，这些图像一起就构成了高斯金字塔，结构如下：

1.2高斯金字塔在OpenCV调用

向下取样：

#img2 = cv2.pyrDown(img1)

img2 = cv2.pyrDown(img1)
img3 = cv2.pyrDown(img2)
img4 = cv2.pyrDown(img3)

向上取样：

#img2 = cv2.pyrUp(img1)

img2 = cv2.pyrUp(img1)
img3 = cv2.pyrUp(img2)
img4 = cv2.pyrUp(img3)

2. 差分金字塔*

DOG（Difference of Gaussian）金字塔是在高斯金字塔的基础上构建起来的，其实生成高斯金字塔的目的就是为了构建DOG差分金字塔。

构建过程：

差分金字塔的第1组第1层是由高斯金字塔的第1组第2层减第1组第1层得到的。以此类推，逐组逐层生成每一个差分图像，所有差分图像构成差分金字塔。括为差分金字塔的第o组第l层图像是有高斯金字塔的第o组第l+1层减第o组第l层得到的。

结果都是黑的，人眼看不到效果。实际计算结果包含了大量信息点。
我们对结果进行归一化操作，此时就变成了laplace金字塔了。

3.拉普拉斯金字塔

3.1 拉普拉斯金字塔原理

3.2 拉布拉斯金字塔在OpenCV的调用

#img2 = img1 - PyrUp(PyrDown(img1))

#第0层
img1d = cv2.pyrDown(img1)
img1u = cv2.pyrUp(img1d)
lap0 = img1 - img1u
img2 = img1d

#第1层
img2d = cv2.pyrDown(img2)
img2u = cv2.pyrUp(img2d)
lap1 = img2 - img2u
img3 = img2d

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